^ Наверх
Закрыть рекламу
ГлавнаяСправочные материалыРешение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение выглядит следующим образом:

ах2 + вх + с = 0.

Смысл его решения заключается в нахождении корней – значений х, при которых равенство становится верным.

Основные формулы корней квадратного уравнения

Самый простой вариант, хорошо известный любому школьнику – это вычисление корней через дискриминант. Его значение определяется по формуле:

D = в2 – 4*а*с.

После нахождения дискриминанта уравнения возможны три варианта расчета:

  1. В том случае, когда D больше нуля, применяются следующие формулы корней квадратного уравнения:

    х1 = (- в + √D) / 2*а;

    х2 = (- в – √D) / 2*а.

  2. Если значение D равно нулю, то используется другая формула решения:
  3. х =  – в/2*а

    В данном случае уравнение имеет два одинаковых корня, для упрощения записи рассчитывается только один.

  4. Если D меньше нуля, то корней нет. Это значит, равенство не может быть верным ни при каких числовых значениях.

Этот алгоритм является универсальным, с его помощью можно найти корни абсолютно любого уравнения. Однако, в некоторых случаях проще и быстрее использовать другие формулы.

Другие способы решения квадратных уравнений

Неполные уравнения (в и/или с равно нулю) решается другими способами:

  1. Вынесение х за скобки.
  2. Пример:

    х2 – 5х = 0.

    х(х – 5) = 0.

    х1 = 0.

    х2 = 5.

  3. Перенос показателя с в другую часть равенства со сменой знака.
  4. Пример:

    х2 – 9  = 0

    х2 = 9

    х = √9

    х1 = 3; х2 = -3.

Приведенные уравнения (а = 1) имеют следующий вид:

х2 + рх + q = 0.

Решение квадратных уравнений этого вида также возможно через дискриминант, но обычно для них применяются формулы, выведенные из теоремы Виета:

  1. х1+х2= -р.
  2. х1*х2 = q.

Зная эти равенства, можно легко вычислить корни уравнения. Четкого алгоритма расчета здесь нет, числа просто подставляются методом подбора.

Стоит пояснить, что обыкновенное уравнение, которое имеет вид ах2 + вх + с = 0, можно сделать приведенным. Для этого необходимо разделить все его члены (ах2; вх; с) на а. Делать это стоит в том случае, если в и с делятся на а без остатка, в остальных случаях удобнее решать уравнение традиционным способом через дискриминант.

Пример:

2 – 18х + 40 = 0

Сделаем уравнение приведенным:  х2 – 9х + 20 = 0.

х1+х2=  – (-9) = 9;

х1*х2 = 20;

х1 = 5; х2 = 4.

Обычно при решении уравнений таким способом значение корней становится сразу же очевидно. Если же с их вычислением возникают проблемы, стоит забыть об этом способе и вернуться к способу с дискриминантом. При этом можно использовать как первоначальный вид уравнения, так и приведенный. Результат будет один и тот же.

Чтобы упростить выполнение математических заданий, можно решить квадратные уравнения он-лайн. Для этого нужно подставить в специальный калькулятор значения а, в и с, а затем нажать на кнопку “рассчитать”. Он-лайн решения помогут ученикам понять принципы выполнения сложных уравнений. Однако, стоит помнить о том, что на экзамене работу придется делать самостоятельно.

Чтобы не забыть, как решать квадратные уравнения через дискриминант и другими способами, можно скачать формулы и сделать их распечатку.